الرئيسية
في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات وتفاضلات لبعض الدوال الرياضية وتظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة. ويكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقاتها هذه المعادلات. تبرز المعادلات التفاضلية بشكل كبير في تطبيقات الفيزياء والكيمياء، وحتى النماذج الرياضية المتعلقة بالعمليات الحيوية والاجتماعية والاقتصادية.
يمكن تقسيم المعادلات التفاضلية إلى قسمين :
* معادلات تفاضلية اعتيادية (Ordinary Differential Equation) تحتوي على توابع ذات متغير مستقل واحد ومشتقات هذا المتغير.
* معادلات تفاضلية جزئية (Partial Differential Equation) تحتوي دوال رياضية لأكثر من متغير مستقل مع مشتقاتها الجزئية.
تعرف رتبة المعادلة التفاضلية على أنها أعلى رتبة لمشتق موجود في هذه المعادلة : فإذا حوت المعادلة مشتق أول ومشتق ثان فقط تعتبر من الرتبة الثانية... وهكذا.
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولي تحتوي على مشتقات أولى فقط.
وتعرف درجة المعادلة : بأنها الأس (القوة) التي رفع إليها أعلى تفاضل في المعادلة.
طرق حل المعادلات التفاضلية
توجد طرق عديدة لحل المعادلات التفاضلية منها.
* طرق تحليلية Analytic Solution
* طرق رقمية Numerical Solution
[1]
ويوجد أكثر من أسلوب للحل العددي وكذلك التحليلي
كما توجد معادلات مشهورة مثل معادلات لابلاس وبرنولي وغيرهم
راجع ما يلي :
[ [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
[عدل] درجة المعادلة التفاضلية
- تتحدد درجة المعادلة التفاضلية حسب أس المشتق ذو الرتبة الأعلى.. مثلا إذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة الثالثة، أي أن أعلى تفاضل فيها هو التفاضل الثالث، فدرجة المعادلة تتحدد حسب أس هذا التفاضل، فإذا كان مرفوعا للأس 5 مثلا تكون المعادلة من الدرجة الخامسة، وهكذا.
تنقسم المعادلات التفاضلية أيضا إلى خطية وغير خطية. وتكون المعادلة التفاضلية خطية بشرطين :
1- إذا كانت معاملات المتغير التابع والمشتقات فيها دوال في المتغير المستقل فقط أو ثوابت.
2- إذا كان المتغير التابع والمشتقات غير مرفوعة لأسس، أي كلها من الدرجة الأولى.
وتكون غير خطية فيما عدا ذلك.
ملاحظة : كل معادلة تفاضلية خطية هي من الدرجة الأولى، بينما ليست كل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هي خطية، لأن الدرجة تتحدد حسب أس التفاضل الأعلى، ومن الممكن أن تكون التفاضلات الأقل مرفوعة لأسس غير الواحد دون أن يؤثر ذلك على الدرجة، وهذا يخل بشرط المعادلة الخطية.
- معادلة برنولي معادلة من الرتبة الأولى والدرجة الأولى وليست معادلة خطية: n≠1 y'+ a(x)y = b(x)y^n\,
يمكن تقسيم المعادلات التفاضلية إلى قسمين :
* معادلات تفاضلية اعتيادية (Ordinary Differential Equation) تحتوي على توابع ذات متغير مستقل واحد ومشتقات هذا المتغير.
* معادلات تفاضلية جزئية (Partial Differential Equation) تحتوي دوال رياضية لأكثر من متغير مستقل مع مشتقاتها الجزئية.
تعرف رتبة المعادلة التفاضلية على أنها أعلى رتبة لمشتق موجود في هذه المعادلة : فإذا حوت المعادلة مشتق أول ومشتق ثان فقط تعتبر من الرتبة الثانية... وهكذا.
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولي تحتوي على مشتقات أولى فقط.
وتعرف درجة المعادلة : بأنها الأس (القوة) التي رفع إليها أعلى تفاضل في المعادلة.
طرق حل المعادلات التفاضلية
توجد طرق عديدة لحل المعادلات التفاضلية منها.
* طرق تحليلية Analytic Solution
* طرق رقمية Numerical Solution
[1]
ويوجد أكثر من أسلوب للحل العددي وكذلك التحليلي
كما توجد معادلات مشهورة مثل معادلات لابلاس وبرنولي وغيرهم
راجع ما يلي :
[ [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
[عدل] درجة المعادلة التفاضلية
- تتحدد درجة المعادلة التفاضلية حسب أس المشتق ذو الرتبة الأعلى.. مثلا إذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة الثالثة، أي أن أعلى تفاضل فيها هو التفاضل الثالث، فدرجة المعادلة تتحدد حسب أس هذا التفاضل، فإذا كان مرفوعا للأس 5 مثلا تكون المعادلة من الدرجة الخامسة، وهكذا.
تنقسم المعادلات التفاضلية أيضا إلى خطية وغير خطية. وتكون المعادلة التفاضلية خطية بشرطين :
1- إذا كانت معاملات المتغير التابع والمشتقات فيها دوال في المتغير المستقل فقط أو ثوابت.
2- إذا كان المتغير التابع والمشتقات غير مرفوعة لأسس، أي كلها من الدرجة الأولى.
وتكون غير خطية فيما عدا ذلك.
ملاحظة : كل معادلة تفاضلية خطية هي من الدرجة الأولى، بينما ليست كل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هي خطية، لأن الدرجة تتحدد حسب أس التفاضل الأعلى، ومن الممكن أن تكون التفاضلات الأقل مرفوعة لأسس غير الواحد دون أن يؤثر ذلك على الدرجة، وهذا يخل بشرط المعادلة الخطية.
- معادلة برنولي معادلة من الرتبة الأولى والدرجة الأولى وليست معادلة خطية: n≠1 y'+ a(x)y = b(x)y^n\,
